1. Ondes progressives

L'essentiel
  • Une onde est la propagation d'une perturbation. Elle transporte de l'énergie, pas de matière : chaque point du milieu oscille sur place.
  • Onde transversale : le milieu bouge perpendiculairement à la propagation (corde, onde électromagnétique). Onde longitudinale : parallèlement (son, ressort).
  • Une onde progressive vers les x croissants s'écrit y(x,t) = f(x − vt) : le point x reproduit, avec un retard x/v, ce qu'a fait la source.
  • Onde sinusoïdale : double périodicité, dans le temps (période T) et dans l'espace (longueur d'onde λ).
  • Ordres de grandeur : son dans l'air ≈ 340 m/s, dans l'eau ≈ 1500 m/s ; lumière dans le vide c = 3,00·10⁸ m/s.
y(x,t) = A cos(ωt − kx + φ)  ·  k = 2π/λ  ·  ω = 2π/T  ·  v = λ/T = ω/k

Simulation : la double périodicité

Mouvement du point rouge au cours du temps
Célérité v = λ·f
Période T = 1/f
Nombre d'onde k = 2π/λ
Pulsation ω = 2πf

Le losange violet suit une crête : il avance à la célérité v. Le point rouge, lui, ne fait que monter et descendre (ou aller et venir) sur place. En une période T, la crête parcourt exactement une longueur d'onde λ.

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2. Ondes stationnaires et modes propres

L'essentiel
  • La superposition de deux ondes de même amplitude et de même fréquence se propageant en sens opposés donne une onde stationnaire : y = 2A sin(kx) cos(ωt). Espace et temps sont « séparés ».
  • Les nœuds (amplitude nulle) sont espacés de λ/2 ; les ventres (amplitude maximale) sont à mi-chemin.
  • Corde de longueur L fixée aux deux bouts : seuls certains modes existent, L = n·λ/2, donc fn = n·v/(2L). Le mode n = 1 est le fondamental, les autres sont les harmoniques.
  • Sur une corde tendue, v = √(T/μ) avec T la tension et μ la masse linéique. Tendre la corde rend la note plus aiguë.
  • Même physique pour les instruments à vent (tuyaux sonores) et les cavités laser.

Simulation : corde de guitare

Longueur typique d'une corde de guitare.

Fréquence fn = n·v/2L
Longueur d'onde λ = 2L/n
Célérité v = √(T/μ)
Note la plus proche

Animation au ralenti : la vraie corde vibre des centaines de fois par seconde.

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3. Interférences lumineuses : les fentes d'Young

L'essentiel
  • Deux ondes n'interfèrent de façon visible que si elles sont cohérentes (même fréquence, déphasage constant). En optique, on les obtient en divisant une même source.
  • Différence de marche entre les deux fentes au point x de l'écran : δ = d·x/D (petits angles).
  • Frange brillante si δ = mλ (interférence constructive), sombre si δ = (m + ½)λ.
  • Chaque fente diffracte : la figure d'interférences est modulée par l'enveloppe de diffraction d'une fente de largeur a.
I(x) = 2I₀ [1 + cos(2πδ/λ)]  ·  interfrange i = λD/d

Simulation : bi-fentes d'Young

Figure observée sur l'écran
Intensité le long de l'écran (pointillés : enveloppe de diffraction)
Interfrange i = λD/d
Demi-largeur du lobe central λD/a
Franges brillantes dans le lobe central
Rapport d/a

Modèle de Fraunhofer, petits angles : I(x) = I₀ · sinc²(πax/λD) · cos²(πdx/λD). Valable quand l'écran est loin des fentes (D ≫ d²/λ), ou avec une lentille.

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4. Diffraction

L'essentiel
  • Une onde qui traverse une ouverture de taille a s'étale angulairement. L'effet est marqué quand a n'est pas très grand devant λ.
  • Fente de largeur a : premier minimum à sin θ = λ/a, tache centrale deux fois plus large que les taches secondaires.
  • Ouverture circulaire de diamètre a : tache d'Airy, premier anneau sombre à sin θ = 1,22·λ/a.
  • Conséquence : tout instrument d'optique a une résolution limitée. Critère de Rayleigh : deux points sont séparés si leur écart angulaire dépasse 1,22·λ/a.
θ ≈ λ/a  ·  largeur de la tache centrale sur l'écran ≈ 2λD/a

Simulation : fente ou trou circulaire

Figure sur l'écran
Intensité relative le long de l'écran
Demi-angle θ₁
Largeur de la tache centrale
Rapport a/λ
Intensité du 1er maximum secondaire

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5. Effet Doppler et onde de choc

L'essentiel
  • Quand la source se déplace, les fronts d'onde se resserrent devant elle et s'écartent derrière : la fréquence reçue change.
  • Source à la vitesse vs, observateur fixe : f' = f · c/(c ∓ vs) (signe − quand la source s'approche).
  • Observateur à la vitesse vo, source fixe : f' = f · (c ± vo)/c (signe + quand il s'approche).
  • Si vs > c, les fronts s'accumulent sur un cône : c'est le bang supersonique, de demi-angle sin α = c/vs = 1/M.
  • Applications : radars de vitesse, échographie Doppler, décalage vers le rouge des galaxies.

Simulation : la source qui se déplace

Fréquence perçue devant
Fréquence perçue derrière
Vitesse de la source (c = 340 m/s)
Demi-angle du cône de Mach

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6. Équation de d'Alembert, réflexion et transmission

L'essentiel
  • Pour une corde tendue (petits mouvements), le principe fondamental de la dynamique appliqué à un élément dx donne l'équation de d'Alembert, avec v = √(T/μ).
  • Solution générale : y = f(x − vt) + g(x + vt), une onde vers la droite plus une onde vers la gauche. Les ondes sinusoïdales stationnaires en sont un cas particulier.
  • Même équation pour le son (surpression), les lignes électriques (tension), et la lumière : les équations de Maxwell donnent c = 1/√(μ₀ε₀).
  • À la jonction de deux milieux d'impédances Z = √(Tμ), la continuité de y et de la force donne les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude.
  • Extrémité fixe : r = −1, l'onde revient retournée. Extrémité libre : r = +1.
∂²y/∂t² = v² · ∂²y/∂x²  ·  r = (Z₁ − Z₂)/(Z₁ + Z₂)  ·  t = 2Z₁/(Z₁ + Z₂)

Simulation : une impulsion arrive sur une jonction

même tension T dans les deux cordes
Coefficient de réflexion r
Coefficient de transmission t
Rapport des célérités v₂/v₁
Part d'énergie réfléchie r²

Si la corde 2 est plus lourde (Z₂ > Z₁), r < 0 : l'impulsion réfléchie est retournée. Si elle est plus légère, r > 0. L'impulsion transmise va moins vite dans une corde plus lourde, et elle est donc plus étroite.

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7. Battements, paquets d'ondes et vitesse de groupe

L'essentiel
  • Deux ondes de fréquences proches f₁ et f₂ donnent des battements : une porteuse à (f₁ + f₂)/2 modulée par une enveloppe, avec une fréquence de battement |f₁ − f₂|.
  • La relation de dispersion ω(k) caractérise le milieu. Si ω = ck, toutes les fréquences vont à la même vitesse : le milieu est non dispersif.
  • Vitesse de phase vφ = ω/k (vitesse des crêtes). Vitesse de groupe vg = dω/dk (vitesse de l'enveloppe, donc de l'énergie et de l'information).
  • Un paquet d'ondes localisé sur Δx contient des nombres d'onde étalés sur Δk avec Δx·Δk ≳ 2π. Dans un milieu dispersif, il s'étale en se propageant.
  • Exemples : houle en eau profonde (ω = √(gk), vg = vφ/2) ; plasma ou guide d'ondes (ω² = ωp² + c²k², vφ > c mais vg < c).
vφ = ω/k  ·  vg = dω/dk

Simulation : la porteuse et l'enveloppe

Vitesse de phase vφ (crêtes, ●)
Vitesse de groupe vg (enveloppe, ◆)
Rapport vg/vφ
Longueur d'un battement 2π/Δk

Vitesses en unités arbitraires (k moyen fixé). Observe le point rouge qui suit une crête et le losange vert qui suit le maximum de l'enveloppe : ils ne vont à la même vitesse que dans le milieu non dispersif.

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Bientôt

Interféromètre de MichelsonLame d'air, coin d'air, anneaux d'égale inclinaison.
En préparation
PolarisationLoi de Malus, lames quart d'onde et demi-onde.
En préparation
Réseaux et analyse de FourierSpectroscopie, séries de Fourier d'un signal.
En préparation