1. Position, vitesse et accélération

L'essentiel
  • Le mouvement d'un point se décrit dans un référentiel (solide de référence + horloge), avec un repère : le vecteur position est OM(t) = x(t) i + y(t) j.
  • Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : v = dOM/dt. Il est toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
  • Le vecteur accélération est la dérivée de la vitesse : a = dv/dt. Il est orienté vers l'intérieur de la courbure.
  • Si a et v forment un angle aigu, le mouvement est accéléré ; un angle obtus, il est ralenti ; à angle droit, la norme de la vitesse ne change pas (mouvement circulaire uniforme).
  • Une chronophotographie montre les positions à intervalles de temps égaux : des points espacés signifient une vitesse grande.
v = dOM/dt  ·  a = dv/dt = d²OM/dt²

Simulation : les vecteurs sur la trajectoire

Position (x ; y) en m
Vitesse ‖v‖
Accélération ‖a‖
Nature du mouvement

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2. Lois de Newton et mouvement dans un champ de pesanteur

L'essentiel
  • 1re loi (principe d'inertie) : dans un référentiel galiléen, si les forces se compensent, le centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme.
  • 2e loi : m a = Σ F. Les forces déterminent l'accélération, pas la vitesse.
  • 3e loi : si A exerce une force sur B, B exerce sur A une force opposée, de même droite d'action.
  • Chute libre (seul le poids) : a = g, donc x(t) = v0 cos α · t et y(t) = −½ g t² + v0 sin α · t. La trajectoire est une parabole ; la composante horizontale de la vitesse est constante.
  • Portée sur sol horizontal : d = v0² sin(2α)/g, maximale pour α = 45°. Avec frottement de l'air (L1), la portée diminue et la trajectoire n'est plus symétrique.
m a = Σ F  ⇒  a = g (chute libre)

Simulation : le canon

tirets : parabole sans frottement
Portée
Hauteur maximale
Durée du vol
Vitesse horizontale au sommet

Frottement modélisé par f = −k m ‖v‖ v (proportionnel au carré de la vitesse).

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3. Travail et énergie mécanique

L'essentiel
  • Énergie cinétique : Ec = ½ m v². Énergie potentielle de pesanteur : Epp = m g z (z vers le haut).
  • Théorème de l'énergie cinétique : la variation de Ec entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces : ΔEc = Σ W(F).
  • Le travail d'une force constante sur un déplacement AB est W = F · AB. Le poids est une force conservative : W(P) = −ΔEpp, quel que soit le chemin.
  • Énergie mécanique : Em = Ec + Epp. Sans frottement, elle se conserve : la bille remonte à sa hauteur de départ.
  • Avec frottement, Em diminue : ΔEm = W(frottements) < 0. L'énergie perdue est dissipée en chaleur.
ΔEc = Σ W(F)  ·  Em = ½ m v² + m g z

Simulation : la bille sur des montagnes russes

bille de 100 g, lâchée sans vitesse
Énergies au cours du temps (J)
Énergie cinétique
Énergie potentielle
Énergie mécanique
Énergie dissipée

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4. Mouvement circulaire et repère de Frenet

L'essentiel
  • En coordonnées polaires, pour un cercle de rayon R : v = R θ̇. On note ω = θ̇ la vitesse angulaire (rad/s).
  • Le repère de Frenet suit le point : T est tangent à la trajectoire (sens du mouvement), N pointe vers le centre de courbure.
  • L'accélération a deux composantes : aT = dv/dt (change la norme de la vitesse) et aN = v²/R (change sa direction).
  • Mouvement circulaire uniforme : aT = 0, l'accélération est purement centripète, de norme v²/R = R ω². Il y a bien une accélération, même à vitesse constante.
  • Dans le cas général, R est le rayon de courbure local de la trajectoire.
a = (dv/dt) T + (v²/R) N

Simulation : les deux composantes de l'accélération

Vitesse v
aT = dv/dt
aN = v²/R
‖a‖

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5. Oscillateur harmonique et amorti

L'essentiel
  • Une masse m accrochée à un ressort de raideur k subit la force de rappel F = −k x (x : allongement depuis l'équilibre).
  • Sans frottement : ẍ + ω0² x = 0 avec ω0 = √(k/m). Solution : x(t) = Xm cos(ω0 t + φ). Période propre T0 = 2π √(m/k), indépendante de l'amplitude.
  • L'énergie oscille entre cinétique et potentielle élastique ½ k x² ; leur somme est constante.
  • Avec un frottement fluide −h ẋ : ẍ + (ω0/Q) ẋ + ω0² x = 0, avec le facteur de qualité Q = m ω0/h.
  • Trois régimes : pseudo-périodique (Q > 1/2, oscillations qui s'amortissent), critique (Q = 1/2, retour le plus rapide), apériodique (Q < 1/2, retour lent sans osciller). Même équation que le circuit RLC.
ẍ + (ω0/Q) ẋ + ω0² x = 0

Simulation : masse et ressort

écartée de 10 cm puis lâchée
Position x(t)
Période propre T0
Facteur de qualité Q
Régime
Position actuelle

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6. Gravitation et lois de Kepler

L'essentiel
  • Loi de la gravitation : F = G M m / r², attractive, dirigée vers le centre de l'astre. C'est une force centrale.
  • Pour une orbite circulaire de rayon r : v = √(GM/r). La période vérifie T²/r³ = 4π²/(GM).
  • 1re loi de Kepler : les orbites liées sont des ellipses dont l'astre attracteur occupe un foyer.
  • 2e loi (loi des aires) : le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales. La planète va plus vite près de l'astre. C'est la conservation du moment cinétique.
  • 3e loi : T²/a³ est le même pour toutes les planètes (a : demi-grand axe). L'énergie mécanique décide de la nature de l'orbite : E < 0 liée (ellipse), E ≥ 0 libre (parabole, hyperbole). Vitesse de libération : √2 fois la vitesse circulaire.
T² / a³ = 4π² / (G M)

Simulation : mettre une planète en orbite

la planète part à droite de l'astre, vers le haut
Trajectoire
Excentricité
Période (en périodes de l'orbite circulaire)
Énergie mécanique

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Bientôt en physique

ThermodynamiqueGaz parfait, premier et second principes, machines thermiques.
En préparation
Mécanique du solideMoment cinétique, rotation autour d'un axe fixe.
En préparation