1. Lois de base en régime continu

L'essentiel
  • Loi des nœuds : la somme des courants qui arrivent à un nœud égale la somme de ceux qui en partent.
  • Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long d'une boucle fermée est nulle.
  • Loi d'Ohm (convention récepteur) : U = R·I. En série les résistances s'ajoutent, en parallèle ce sont les conductances 1/R.
  • Un générateur réel se modélise par U = E − r·I. Le point de fonctionnement est l'intersection de sa caractéristique avec celle du dipôle branché.
  • Diviseur de tension (à vide) : U₂ = E·R₂ / (R₁ + R₂). Il n'est valable que si aucun courant n'est prélevé en sortie.

Simulation : point de fonctionnement

Courant I = E/(R + r)
Tension U aux bornes de R
Puissance reçue par R
Rendement U/E

Essaie R = r : la puissance reçue par la charge est alors maximale, mais la moitié de la puissance fournie est perdue dans le générateur.

Simulation : diviseur de tension chargé

U₂ à vide = E·R₂/(R₁+R₂), E = 10 V
U₂ avec la charge
Écart dû à la charge
R₂ ∥ Rc

La courbe montre U₂ en fonction de Rc (échelle logarithmique). Le diviseur « tient » tant que Rc reste grande devant R₁ et R₂.

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2. Superposition, Thévenin et Norton

L'essentiel
  • Superposition (circuit linéaire) : la réponse à plusieurs sources est la somme des réponses à chaque source seule. On éteint une source de tension en la remplaçant par un fil, une source de courant par un circuit ouvert.
  • Vu de deux bornes A et B, tout circuit linéaire équivaut à un générateur de Thévenin (Eth, Rth) ou de Norton (IN, Rth), avec IN = Eth/Rth.
  • Eth est la tension à vide entre A et B. Rth est la résistance vue entre A et B, sources éteintes.
  • Millman : le potentiel d'un nœud est la moyenne des potentiels voisins pondérée par les conductances, V = Σ(Vk/Rk) / Σ(1/Rk).

Simulation : générateur de Thévenin et adaptation

Eth = E·R₂/(R₁+R₂)
Rth = R₁ ∥ R₂
IN = Eth/Rth
UAB et puissance dans Rc

La courbe donne la puissance reçue par Rc. Son maximum tombe toujours en Rc = Rth (adaptation d'impédance), et vaut Eth²/(4Rth).

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3. Réponse temporelle des circuits RC et RL

L'essentiel
  • Condensateur : i = C·du/dt. Sa tension est continue (elle ne peut pas sauter). En régime permanent continu, il se comporte comme un interrupteur ouvert.
  • Bobine : u = L·di/dt. Son courant est continu. En régime permanent continu, elle se comporte comme un fil.
  • Un circuit du premier ordre obéit à τ·dx/dt + x = x∞, de solution x(t) = x∞ + (x(0⁺) − x∞)·e−t/τ.
  • τ = RC ou τ = L/R. À t = τ, 63 % du chemin est fait ; à 5τ, plus de 99 %.

Simulation : charge, décharge, établissement du courant

Constante de temps τ
Durée pour atteindre 99 % (≈ 4,6 τ)

Pointillés : tangente à l'origine. Elle coupe l'asymptote exactement en t = τ, c'est la méthode graphique pour lire τ sur un oscillogramme.

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4. Circuit RLC série : réponse à un échelon

L'essentiel
  • La tension du condensateur vérifie ü + (ω₀/Q)·u̇ + ω₀²·u = ω₀²·E, avec ω₀ = 1/√(LC) et Q = (1/R)·√(L/C).
  • Q > ½ : régime pseudo-périodique, oscillations amorties de pseudo-pulsation ω = ω₀·√(1 − 1/(4Q²)).
  • Q = ½ : régime critique, retour le plus rapide sans dépasser.
  • Q < ½ : régime apériodique, retour lent sans oscillation.
  • Ordre de grandeur : le nombre d'oscillations visibles est d'environ Q.

Simulation : les trois régimes

Fréquence propre f₀ = ω₀/2π
Facteur de qualité Q
Régime
Premier dépassement

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5. Régime sinusoïdal forcé

L'essentiel
  • En régime établi, toutes les grandeurs oscillent à la pulsation ω de la source. On les représente par des nombres complexes (amplitude et phase).
  • Impédances : ZR = R, ZL = jLω, ZC = 1/(jCω). Elles s'associent comme des résistances.
  • Le déphasage φ = arg Z est l'avance de la tension sur le courant. Bobine : +90°, condensateur : −90°.
  • RLC série : résonance en courant à ω = ω₀, où Z = R et le courant est en phase avec la tension.
  • Puissance moyenne : P = Ueff·Ieff·cos φ. Seule la résistance consomme de la puissance en moyenne.

Simulation : RLC série en régime sinusoïdal

Oscillogramme : tension du générateur e(t) et tension R·i(t), image du courant
Diagramme de Fresnel (tensions)
Amplitude du courant selon la fréquence
Module de l'impédance |Z|
Amplitude du courant (E = 5 V)
Déphasage φ de u sur i
Puissance moyenne et cos φ

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6. Filtrage et diagrammes de Bode

L'essentiel
  • Fonction de transfert : H(jω) = s/e. Gain G = |H|, gain en décibels GdB = 20·log G, déphasage φ = arg H.
  • Coupure à −3 dB : G = Gmax/√2. Pour un RC du premier ordre, fc = 1/(2πRC).
  • Pente des asymptotes : ±20 dB/décade par ordre (premier ordre : 20, second ordre : 40).
  • Passe-bande : bande passante Δω = ω₀/Q. Plus Q est grand, plus le filtre est sélectif.
  • Pour un signal somme de sinusoïdes, chaque composante est multipliée par le gain et décalée par la phase correspondant à sa propre fréquence.

Simulation : diagrammes de Bode

Gain GdB (dB)
Déphasage φ (degrés)
Entrée e(t) et sortie s(t) à la fréquence choisie
Gain G = |H|
Gain en dB
Déphasage de s sur e
Bande passante à −3 dB

Pointillés gris : asymptotes. Point coloré : la fréquence du signal d'entrée, que tu peux déplacer pour voir l'atténuation sur l'oscillogramme.

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