1. Aire sous la courbe et sommes de Riemann

L'essentiel
  • Pour une fonction f continue et positive sur [a ; b], l'intégrale ∫ab f(x) dx est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b (en unités d'aire).
  • On découpe [a ; b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n et on remplace chaque bande par un rectangle : c'est une somme de Riemann.
  • Rectangles à gauche, à droite, au milieu, ou trapèzes : toutes ces sommes tendent vers la même limite quand n → +∞. Cette limite est l'intégrale.
  • La méthode des trapèzes et celle du point milieu convergent bien plus vite : l'erreur est divisée par 4 quand on double n, contre 2 pour les rectangles à gauche ou à droite.
  • Le symbole ∫ est un S allongé, pour « somme » ; dx rappelle la largeur des bandes.
Sn = h · [ f(x0) + f(x1) + … + f(xn−1) ]  →  ∫ab f(x) dx

Simulation : découper l'aire

n passe de 1 à 60 bandes
Somme approchée
Valeur exacte
Erreur
Largeur d'une bande h

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2. Primitives

L'essentiel
  • Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F′ = f.
  • Si F est une primitive, toutes les autres sont les F + C, avec C une constante : leurs courbes se déduisent par translation verticale.
  • Une condition initiale, comme F(x0) = y0, fixe la constante : il y a une seule primitive qui passe par un point donné.
  • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, même quand on ne sait pas les écrire avec les fonctions usuelles (par exemple e−x²).
  • Primitives usuelles : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) ; 1/x → ln x (x > 0) ; eˣ → eˣ ; cos → sin ; sin → −cos ; u′eu → eu ; u′/u → ln|u|.
F′(x) = f(x)  ⇔  F primitive de f

Simulation : la pente de F, c'est f

La fonction f
Ses primitives F + C (en gris) et celle que tu choisis
f(x₀)
Pente de la tangente à F en x₀
F(x₀)
Primitive choisie

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3. Le théorème fondamental de l'analyse

L'essentiel
  • Pour f continue sur I et a ∈ I, la fonction F(x) = ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
  • Autrement dit : la vitesse à laquelle l'aire grandit, c'est la hauteur de la courbe. Quand f > 0, F augmente ; quand f < 0, F diminue.
  • Conséquence pratique : pour calculer une intégrale, on cherche une primitive F quelconque et ∫ab f = F(b) − F(a), notée [F(x)]ab.
  • Si f change de signe, l'intégrale est une aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement.
  • Exemple : ∫0π sin x dx = [−cos x]0π = 1 − (−1) = 2.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Simulation : balayer l'aire

F(x) : aire algébrique accumulée depuis a
Borne de départ a
f(x) : pente de F
F(x) = ∫ de a à x
F en ce point

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4. Propriétés de l'intégrale et valeur moyenne

L'essentiel
  • Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.
  • Relation de Chasles : ∫ab f + ∫bc f = ∫ac f. En particulier ∫ba f = −∫ab f.
  • Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫ab f ≥ 0. Et si f ≤ g, alors ∫f ≤ ∫g : on peut encadrer une intégrale.
  • La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = (1/(b − a)) ∫ab f. C'est la hauteur du rectangle de même base qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
  • Pour f continue, il existe au moins un c dans [a ; b] tel que f(c) = μ : la fonction « passe » par sa moyenne.
μ = 1⁄b − a ∫ab f(x) dx

Simulation : niveler l'aire

l'aire au-dessus de μ remplit l'aire en dessous
Intégrale de a à b
Longueur b − a
Valeur moyenne μ
Point(s) où f = μ

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5. Intégration par parties

L'essentiel
  • Pour u et v dérivables à dérivées continues sur [a ; b] : ∫ab u v′ = [u v]ab − ∫ab u′ v.
  • Elle vient de la dérivée d'un produit : (uv)′ = u′v + uv′, qu'on intègre de a à b.
  • Le bon choix : on dérive le facteur qui se simplifie (un polynôme, ln x) et on primitive celui qui reste stable (eˣ, sin, cos).
  • Un mauvais choix donne une intégrale plus compliquée que celle de départ : on le voit tout de suite, et on échange u et v′.
  • Astuce pour ln x seul : on l'écrit 1 × ln x, avec v′ = 1.
∫ab u(x) v′(x) dx = [u v]ab − ∫ab u′(x) v(x) dx

Exemples guidés, vérifiés numériquement

    Résultat par IPP
    Calcul numérique (1000 trapèzes)
    Écart

    Quiz

    6. Intégrales impropres (généralisées)

    L'essentiel
    • Quand une borne est infinie, ou que f n'est pas bornée près d'une borne, on définit l'intégrale comme une limite : ∫1+∞ f = limX→+∞ ∫1X f. Si la limite est finie, l'intégrale converge.
    • Intégrales de Riemann : ∫1+∞ dx/xα converge si et seulement si α > 1 (elle vaut alors 1/(α − 1)).
    • À l'inverse, ∫01 dx/xα converge si et seulement si α < 1 (elle vaut 1/(1 − α)).
    • Cas limite α = 1 : ∫ dx/x = ln X, qui diverge (lentement) dans les deux cas.
    • Critère de comparaison : si 0 ≤ f ≤ g et que ∫g converge, alors ∫f converge. Exemple : e−x² ≤ e−x pour x ≥ 1.
    ∫1+∞ dx⁄xα converge ⇔ α > 1

    Simulation : repousser la borne

    Valeur de l'intégrale quand on repousse la borne
    Borne actuelle
    Intégrale jusqu'à cette borne
    Limite
    Verdict

    Quiz

    Bientôt en maths

    Suites et limitesConvergence, suites récurrentes en toile d'araignée.
    En préparation
    Équations différentiellesy′ = ay + b, lien avec les circuits RC.
    En préparation