1. Taux d'accroissement et nombre dérivé

L'essentiel
  • Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est la pente de la sécante qui relie les deux points de la courbe.
  • Quand h tend vers 0, si ce taux tend vers une limite finie, f est dérivable en a et cette limite est le nombre dérivé f′(a).
  • Géométriquement, f′(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
  • Exemple : pour f(x) = x², le taux vaut ((a+h)² − a²)/h = 2a + h, qui tend vers 2a. Donc f′(a) = 2a.
  • Contre-exemple : √x en 0 (pente infinie, tangente verticale) ou |x| en 0 (deux pentes différentes à gauche et à droite) ne sont pas dérivables.
f′(a) = limh→0 [ f(a + h) − f(a) ] / h

Simulation : rapprocher les deux points

la sécante pivote et se colle à la tangente
Taux d'accroissement (pente de la sécante)
Nombre dérivé f′(a)
Écart entre les deux
Point A (a ; f(a))

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2. Tangente et approximation affine

L'essentiel
  • La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
  • Plus on zoome sur la courbe autour de ce point, plus elle se confond avec sa tangente : c'est la linéarité locale.
  • D'où l'approximation affine : pour h petit, f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)·h. L'erreur est négligeable devant h.
  • Exemple : √(4,1) ≈ 2 + 0,1/(2·2) = 2,025 (valeur exacte 2,0248…).
  • En physique, c'est le même geste : linéariser autour d'un point de fonctionnement, petits angles (sin θ ≈ θ), etc.
y = f′(a)(x − a) + f(a)

Simulation : le microscope

la courbe devient une droite
Équation de la tangente
Valeur exacte f(a + 0,1)
Approximation f(a) + 0,1·f′(a)
Erreur commise

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3. Fonction dérivée et dérivées usuelles

L'essentiel
  • La fonction dérivée f′ associe à chaque x le nombre dérivé f′(x), c'est-à-dire la pente de la tangente en x.
  • Lecture graphique : là où la courbe de f monte, f′ est positive ; là où elle a une tangente horizontale, f′ s'annule.
  • Il faut connaître le tableau ci-dessous par cœur. Attention aux domaines : √x n'est pas dérivable en 0, ln x n'est définie que pour x > 0.
f(x)f′(x)f(x)f′(x)
k (constante)0√x1/(2√x)
x1eˣeˣ
xⁿn·xⁿ⁻¹ln x1/x
1/x−1/x²sin xcos x
1/xⁿ−n/xⁿ⁺¹cos x−sin x

Simulation : la pente devient une courbe

Courbe de f et sa tangente qui glisse
La pente de la tangente, point par point : c'est la courbe de f′
Position x
f(x)
Pente f′(x)
Formule de f′

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4. Sens de variation et extremums

L'essentiel
  • Sur un intervalle, si f′ > 0 alors f est strictement croissante ; si f′ < 0, f est strictement décroissante ; si f′ = 0 partout, f est constante.
  • Méthode : calculer f′, étudier son signe (factoriser, discriminant…), puis dresser le tableau de variations.
  • Si f′ s'annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a (maximum si f′ passe de + à −, minimum sinon).
  • Attention : f′(a) = 0 ne suffit pas. Pour x³ en 0, la dérivée s'annule sans changer de signe : pas d'extremum.
  • Application directe : problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal, etc.).

Simulation : f(x) = x³ + b·x² + c·x

Signe de f′(x) = 3x² + 2b·x + c
Tableau de variations (mis à jour en direct)

Essaie c = 0 et b = 0 : f′(0) = 0 mais f′ ne change pas de signe, donc pas d'extremum.

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5. Opérations et dérivée d'une composée

L'essentiel
  • Somme et multiple : (u + v)′ = u′ + v′, (k·u)′ = k·u′.
  • Produit : (u·v)′ = u′v + uv′. Quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², là où v ≠ 0.
  • Composée : (g∘u)′ = u′ × g′∘u. On dérive « l'extérieur » en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
  • Cas à connaître : (eᵘ)′ = u′eᵘ, (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹, (√u)′ = u′/(2√u), (ln u)′ = u′/u, (sin u)′ = u′·cos u.
  • Réflexe : avant de dériver, repérer la forme (somme, produit, quotient, composée) et nommer u et v.

Entraînement : des exercices à l'infini

    Vérification graphique : la formule trouvée (trait) et la pente mesurée sur la courbe (points)

    Quiz

    6. Dérivée seconde et convexité

    L'essentiel
    • La dérivée seconde f″ est la dérivée de f′. Elle mesure comment la pente évolue.
    • f est convexe sur un intervalle si f′ y est croissante, c'est-à-dire si f″ ≥ 0 : la courbe est au-dessus de ses tangentes (forme ∪).
    • f est concave si f″ ≤ 0 : la courbe est en dessous de ses tangentes (forme ∩).
    • Un point d'inflexion est un point où la convexité change : f″ s'y annule en changeant de signe, et la tangente traverse la courbe.
    • Utile pour les inégalités : eˣ est convexe, donc eˣ ≥ 1 + x (la tangente en 0). ln est concave, donc ln x ≤ x − 1.
    f″ ≥ 0 ⇔ convexe  ·  f″ ≤ 0 ⇔ concave

    Simulation : la tangente au-dessus ou en dessous

    Position x
    f″(x)
    Convexité
    Points d'inflexion

    Zones teintées : en clair f est convexe, en foncé elle est concave. Regarde la tangente passer de l'autre côté de la courbe au point d'inflexion.

    Quiz

    7. Formule de Taylor et développements limités

    L'essentiel
    • L'approximation affine est le premier pas. En ajoutant des termes, on approche f par un polynôme de degré n qui a les mêmes n premières dérivées en a.
    • Formule de Taylor-Young en 0 : f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n! + o(xⁿ).
    • DL à connaître : eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + … ; sin x = x − x³/6 + … ; cos x = 1 − x²/2 + … ; ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − … ; 1/(1−x) = 1 + x + x² + …
    • Plus n est grand, meilleure est l'approximation près de 0. Mais loin de 0, elle peut rester mauvaise : pour ln(1+x) et 1/(1−x), rien ne marche au-delà de |x| = 1.
    • Usages : calculs de limites (lever des formes indéterminées), approximations en physique (petits angles, petites vitesses).
    f(x) ≈ Σk=0..n f⁽ᵏ⁾(0) · xᵏ / k!

    Simulation : ajouter des termes

    Polynôme de Taylor Tₙ(x)
    Valeur exacte
    Valeur approchée
    Erreur relative

    Quiz

    Bientôt en maths

    Suites et limitesConvergence, suites récurrentes en toile d'araignée.
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    Équations différentiellesy′ = ay + b, lien avec les circuits RC.
    En préparation